Question

下列命題中，正確的是

 

（1）若

a

與

b

是共線向量，

b

與

c

是共線向量，則

a

與

c

是共線向量；
（2）已知

a

=（sinθ，

1+cosθ

，

b

=（1，

1-cosθ

），其中θ∈(π，

3π

2

），則

a

⊥

b

；
（3）函數(shù)f（x）=tan

x

2

與函數(shù)f（x）=

1-cosx

sinx

是同一函數(shù)；
（4）tan70°•cos10•（1-

3

tan20°）=1．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：（1）當(dāng)

b

=

0

時(shí)，則

a

與

c

不一定是共線向量；
（2）由θ∈(π，

3π

2

），可得sinθ＜0．利用數(shù)量積和平方關(guān)系

a

•

b

=0，可得

a

⊥

b

；
（3）利用倍角公式可得：函數(shù)f（x）=

1-cosx

sinx

=tan

x

2

，其中x≠kπ，k∈Z．對于函數(shù)f（x）=tan

x

2

，再求出其定義域，比較即可得出．
（4）利用商數(shù)關(guān)系、兩角和差的正弦余弦公式、倍角公式、誘導(dǎo)公式即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)

b

=

0

時(shí)，則

a

與

c

不一定是共線向量；
（2）∵θ∈(π，

3π

2

），∴sinθ＜0．

a

•

b

=sinθ+

(1+cosθ)(1-cosθ)

=sinθ+|sinθ|=sinθ-sinθ=0，∴

a

⊥

b

，因此正確；
（3）函數(shù)f（x）=

1-cosx

sinx

=

2sin2 x 2

2sin x 2 cos x 2

=tan

x

2

，其中x≠kπ，k∈Z．
對于函數(shù)f（x）=tan

x

2

，其中

x

2

≠kπ+

π

2

（k∈Z），即x≠2kπ+π．
其定義域不同，因此不是同一函數(shù)；
（4）∵1-

3

tan20°=

cos20°- 3 sin20°

cos20°

=

2sin(30°-20°)

cos20°

=

2sin10°

cos20°

．
tan70°•cos10•（1-

3

tan20°）=

sin70°•2sin10°cos10°

cos70°cos20°

=

cos20°•sin20°

sin20°cos20°

=1，故正確．
綜上可知：只有（2）（4）正確．
故答案為：（2）（4）．

點(diǎn)評：本題綜合考查了向量的共線定理、數(shù)量積運(yùn)算與垂直的關(guān)系、商數(shù)關(guān)系、兩角和差的正弦余弦公式、倍角公式、誘導(dǎo)公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．