Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=e^x（x+1）給出下列命題：
①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=e^x（1-x）
②函數(shù)f（x）有2個零點(diǎn)
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
④?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2
其中正確的命題是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：通過函數(shù)的奇偶性的定義求出函數(shù)的解析式，判斷①的正誤；通過分析出函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)判斷②的正誤；直接求解不等式的解集判斷③的正誤；求出函數(shù)的最值判斷④的正誤．

解答： 解：設(shè)x＞0，則-x＜0，故f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x），
∴f（x）=e^-x（x-1），故①錯；
∵f（x）定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，又x＜0時(shí)，f（-1）=0，
x＞0時(shí)，f（1）=0，故f（x）有3個零點(diǎn)，②錯；
當(dāng)x＜0時(shí)，令f（x）=e^x（x+1）＞0，解得-1＜x＜0，
當(dāng)x＞0時(shí)，令f（x）=e^-x（-x+1）＞0．
解得x＞1，綜上f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞），③正確；
當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）=e^x（x+2），f（x）在x=-2處取最小值為-

1

e2

，
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）=e^-x（-x+2），f（x）在x=2處取最大值為

1

e2

，
由此可知函數(shù)f（x）在定義域上的最小值為-

1

e2

，最大值為

1

e2

，而

1

e2

-(-

1

e2

)=

2

e2

＜2，
∴對任意的?x₁，x₂∈R，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2，④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點(diǎn)的求法函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，不等式的解法，考查基本知識的綜合應(yīng)用．