Question

如圖所示的多面體中，DB⊥平面ABC，AE∥DB，且△ABE是邊長為2的等邊三角形，AE=1，BD=2．
（1）在線段DC上是否存在一點F，使得EF⊥平面DBC，若存在，求線段DF的長度，若不存在，說明理由；
（2）求二面角D-EC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）取CD的中點為F，BC的中點為H，由已知條件得AEFH為平行四邊形，從而EF∥AH，進而AH⊥平面BCD，EF⊥平面DBC，由此推導出存在F為CD中點，DF=

2

時，使得EF⊥面DBC．
（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的余弦值．

解答： 解：（1）取CD的中點為F，BC的中點為H，
∵FH

∥

.

1

2

BD，AE

∥

.

1

2

BD，
∴AEFH為平行四邊形，∴EF∥AH，
△ABC是等邊三角形，DB⊥平面ABC，
∵AH⊥BC，AH⊥BD，BC∩BD=B，
∴AH⊥平面BCD，
∴EF⊥平面DBC，
BC=2，BD=2，∴DE=

1

2

CD=

2

，
存在F為CD中點，DF=

2

時，
使得EF⊥面DBC．
（2）如圖建立空間直角坐標系，
由C（1，

3

，0），B（0，0，0），
E（2，0，1），D（0，0，2），

BE

=(2，0，1)，

EC

=(-1，

3

，-1)，

DE

=(2，0，-1)，
設

n

=(x，y，z)是平面BCE的法向量，
則

n • BE =2x+z=0 n • EC =-x+ 3 y-z=0

，
取x=1，得

n

=(1，-

3

3

，-2)，
設

m

=（a，b，c）為平面CDE的法向量，
則

m • DE =2a-c=0 m • EC =-a+ 3 b-c=0

，
取a=1，得

m

=(1，

3

，2)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

-4

8 6 3

=-

6

4

，
∴二面角D-EC-B的余弦值為

6

4

．

點評：本題考查滿足條件的點是否存在的判斷與求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．