Question

（1）已知α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），且cosβ=-

1

3

，sinα=

7

9

，求sin（α+β）的值；
（2）已知tanα=

1

7

，tanβ=

1

3

，且α，β都是銳角，求α+2β的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由已知結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得cosα和sinβ，代入sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ化簡(jiǎn)可得；（2）由二倍角的正切公式可得tan2β，進(jìn)而可得tan（α+2β），結(jié)合角的范圍可得α+2β的值．

解答： 解：（1）∵α∈（0，

π

2

），β∈（

π

2

，π），cosβ=-

1

3

，sinα=

7

9

，
∴cosα=

1-sin2α

=

4 2

9

，sinβ=

1-cos2β

=

2 2

3

，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

7

9

×(-

1

3

)+

4 2

9

×

2 2

3

=

1

3

；
（2）∵tanβ=

1

3

，∴tan2β=

2tanβ

1-tan2β

=

2× 1 3

1- 1 9

=

3

4

，
∴tan（α+2β）=

tanα+tan2β

1-tanαtan2β

=

1 7 + 3 4

1- 1 7 × 3 4

=1
∵tanβ=

1

3

＜1，∴β∈（0，

π

4

），
∴α+2β∈（0，π），∴α+2β=

π

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式，涉及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．