Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，其準(zhǔn)線過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個(gè)焦點(diǎn)；又拋物線與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M（

3

2

，-

6

），求拋物線和雙曲線的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)，可得p=2c，再利用拋物線與雙曲線同過(guò)交點(diǎn)（

3

2

，-

6

），求出c、p的值，進(jìn)而結(jié)合雙曲線的性質(zhì)a²+b²=c²，求解即可．

解答： 解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，準(zhǔn)線過(guò)雙曲線的左焦點(diǎn)，∴p=2c．
設(shè)拋物線方程為y²=4c•x，
∵拋物線過(guò)點(diǎn)（

3

2

，-

6

），∴6=4c•

3

2

．
∴c=1，故拋物線方程為y²=4x．
又雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1過(guò)點(diǎn)（

3

2

，-

6

），
∴

9

4a2

-

6

b2

=1．①
又a²+b²=c²=1．②
由①②可得a²=

1

4

或a²=9（舍）．
∴b²=

3

4

，
故雙曲線方程為：4x²-

4y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線和雙曲線方程的求法：待定系數(shù)法，熟練掌握?qǐng)A錐曲線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，同時(shí)考查了學(xué)生的基本運(yùn)算能力與運(yùn)算技巧．