Question

已知函數(shù)f（x）=

4x

4x+2

．
（Ⅰ）求f（x）+f（1-x），x∈R的值；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=2ⁿ⁺¹•a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,函數(shù)的值

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件得f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=

4x

4x+2

+

2

4x+2

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）推導(dǎo)出a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）=

n+1

2

．
（Ⅲ）由b_n=2ⁿ⁺¹•a_n=（n+1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

4x

4x+2

，
∴f（x）+f（1-x）=

4x

4x+2

+

41-x

41-x+2

=

4x

4x+2

+

4 4x

4 4x +2

=

4x

4x+2

+

4

4+2•4x

=

4x

4x+2

+

2

4x+2

=1．
（Ⅱ）∵f（x）+f（1-x）=1，f（

1

2

）=

4 1 2

4 1 2 +2

=

1

2

，
∴a_n=f（0）+f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（1）
=[f（0）+f（1）]+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+…
=

n+1

2

，
∴an=

n+1

2

．
（Ⅲ）∵b_n=2ⁿ⁺¹•a_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2•2+3•2²+4•2³+…+（n+1）•2ⁿ，①
2S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-S_n=4+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．

點評：本題考查函數(shù)值的求法，考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．