Question

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P，Q是面對角線A₁C₁上的兩個不同動點．
①存在P，Q兩點，使BP⊥DQ；
②存在P，Q兩點，使BP，DQ與直線B₁C都成45°的角；
③若|PQ|=1，則四面體BDPQ的體積一定是定值；
④若|PQ|=1，則四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值．
以上命題為真命題的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點：棱柱的結構特征

專題：空間位置關系與距離

分析：令P與A₁點重合，Q與C₁點重合，可判斷①；根據(jù)BP與直線B₁C所成的角最小值為45°，可判斷②；根據(jù)平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐（其中O為上底面中心），可判斷③；根據(jù)四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積不變，可判斷④．

解答： 解：當P與A₁點重合，Q與C₁點重合時，BP⊥DQ，故①正確；
當P與A₁點重合時，BP與直線B₁C所成的角最小，此時兩異面直線夾角為60°，故②錯誤；
設平面A₁B₁C₁D₁兩條對角線交點為O，則易得PQ⊥平面OBD，
平面OBD將四面體BDPQ可分成兩個底面均為平面OBD，高之和為PQ的棱錐，
故四面體BDPQ的體積一定是定值，故③正確；
四面體BDPQ在上下兩個底面上的投影是對角線互相垂直且對角線長度均為1的四邊形，其面積為定值，
四面體BDPQ在四個側面上的投影，均為上底為

2

2

，下底和高均為1的梯形，其面積為定值，
故四面體BDPQ在該正方體六個面上的正投影的面積的和為定值，故④正確；
故為真命題的有3個．
故選：C

點評：本題考查的知識點是棱柱的幾何特征，是空間異面直線關系，棱錐體積，投影的綜合應用，難度較大．