Question

如圖，橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b，b＞0）和圓C₂：x²+y²=b²，已知圓C₂將橢圓C_l的長(zhǎng)軸三等分，且圓C₂的面積為π．橢圓C_l的下頂點(diǎn)為E，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C₂相交于點(diǎn)A、B，直線EA、EB與橢圓C₁的另一個(gè)交點(diǎn)分別是點(diǎn)P、M．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）（i）設(shè)PM的斜率為t，直線l斜率為K₁，求

K1

t

的值；
（ii）求△EPM面積最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由圓的面積求得b的值，結(jié)合圓C₂將橢圓C_l的長(zhǎng)軸三等分求得a的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（i）設(shè)出PE所在直線方程，和（Ⅰ）中求得的橢圓方程聯(lián)立求得P、M的坐標(biāo)，則t可求，聯(lián)立直線PE的方程與圓的方程求得A點(diǎn)坐標(biāo)，則直線l斜率為K₁可求，作比可得

K1

t

的值；
（ii）由兩點(diǎn)間的距離公式求得線段|PE|、|EM|的長(zhǎng)度，則PE、EM垂直時(shí)三角形EPM面積最大，由基本不等式求出面積最大值并得到面積最大時(shí)的k的值，則直線l的方程可求．

解答： 解：（Ⅰ）∵圓C₂：x²+y²=b²的面積為π，
∴b²π=π，即b=1．
∴a=3b=3，
橢圓方程為

x2

9

+y2=1；
（Ⅱ）（i）由題意知直線PE、ME的斜率存在且不為0，PE⊥EM，
不妨設(shè)直線PE的斜率為k（k＞0），則PE：y=kx-1，
由

y=kx-1 x2 9 +y2=1

，得

x= 18k 9k2+1 y= 9k2-1 9k2+1

或

x=0 y=-1

．
∴P（

18k

9k2+1

，

9k2-1

9k2+1

），
用-

1

k

去代k，得M(

-18k

k2+9

，

9-k2

k2+9

)，則
t=kPM=

9k2-1 9k2+1 - 9-k2 k2+9

18k 9k2+1 + 18k k2+9

=

k2-1

10k

．
由

y=kx-1 x2+y2=1

，得

x= 2k 1+k2 y= k2-1 k2+1

或

x=0 y=-1

．
∴A(

2k

1+k2

，

k2-1

k2+1

)．
∴K1=

k2-1

2k

，則

K1

t

=

k2-1 2k

k2-1 10k

=5；
（ii）|PE|=

( 18k 9k2+1 )2+( 18k2 9k2+1 )2

=

18k

9k2+1

1+k2

，
|EM|=

18 k

9 k2 +1

1+ 1 k2

=

18

9+k2

1+k2

．
∴S△EPM=

1

2

•

18k

9k2+1

1+k2

•

18

9+k2

1+k2

=

162k(1+k2)

(9+k2)(1+9k2)

=

162(k+k3)

9k4+82k2+9

=

162( 1 k +k)

9k2+82+ 9 k2

．
設(shè)

1

k

+k=u，
則S△EPM=

162u

82+9(u2-2)

=

162

9u+ 64 u

≤

162

2 9u• 64 u

=

27

8

．
當(dāng)且僅當(dāng)

1

k

+k=u=

8

3

時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)(k-

1

k

)2=(k+

1

k

)2-4=

28

9

，
∴k-

1

k

=±

2 7

3

．
則直線AB：y=

k2-1

2k

x．
∴所求的直線l的方程為：y=±

7

3

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，考查了方程組的解法，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬高考試題中的壓軸題．