Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3，數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列{a_n-2}為等比數(shù)列；
（2）證明S_n＜2（n+1）．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得a_n+S_n=3+3+2（n-1）=2n+4，由此推導(dǎo)出2（a_n-2）=a_n-1-2，從而能夠證明{a_n-2}是首項為a₁-2=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n-2=

1

2n-1

，所以an=

1

2n-1

+2，由此能夠證明S_n＜2（n+1）．

解答： 證明：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=3，
數(shù)列{a_n+S_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n+S_n=3+3+2（n-1）=2n+4，
當(dāng)n≥2時，由a_n+S_n=2n+4，得
a_n-1+S_n-1=2n+2，
兩式相減得a_n-a_n-1+a_n=2
∴2（a_n-2）=a_n-1-2
∴{a_n-2}是首項為a₁-2=1，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n-2=

1

2n-1

，∴an=

1

2n-1

+2，
∴Sn=

1- 1 2n

1- 1 2

+2n=2-

2

2n

+2n
=2（n+1）-

2

2n

，
∴S_n＜2（n+1）．

點(diǎn)評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用．