在平面四邊形ABCD中，記
AB
=
a
，
BC
=
b
，
CD
=
c
，
DA
=
d
，證明：若
a
•
b
=
b
•
c
=
c
•
d
=
d
•
a
，則四邊形ABCD是矩形．
考點：平面向量數(shù)量積的運算
專題：平面向量及應(yīng)用
分析：由
a
•
b
=
b
•
c
，可得
b
•(
a
-
c
)=0，可得
b
⊥(
a
-
c
)，或
a
=
c
．由題意
a
≠
c
．于是
b
⊥(
a
-
c
)，同理可得
d
⊥(
a
-
c
)．于是
b
∥
d
．同理可得
a
∥
c
．即可得出四邊形ABCD是矩形．
解答： 證明：∵
a
•
b
=
b
•
c
，∴
b
•(
a
-
c
)=0，∴
b
⊥(
a
-
c
)，或
a
=
c
．由題意
a
≠
c
．因此
b
⊥(
a
-
c
)，
同理由
c
•
d
=
d
•
a
，可得
d
⊥(
a
-
c
)．∴
b
∥
d
．
同理可得
a
∥
c
．
即AB∥CD，BC∥AD．
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
又
b
⊥(
a
-
c
)，
∴BC⊥AB（或CD）．
∴四邊形ABCD是矩形．
點評：本題考查了向量垂直于數(shù)量積的關(guān)系、矩形的判定，考查了推理能力，屬于難題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別是a、b、c，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0對一切實數(shù)x恒成立．
（1）求cosC的取值范圍；
（2）當(dāng)∠C取最大值，且△ABC的周長為6時，求△ABC面積的最大值，并指出面積取最大值時△ABC的形狀．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖正方形ABCD、ABEF的邊長都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點M在AC上移動，點N在BF上移動，若CM=BN=a（0＜a＜
2
）
（1）求MN的長；
（2）a為何值時，MN的長最小？并求出最小值．
（3）當(dāng)MN的長最小時，求面MNA與面MNB所成的二面角α的余弦值．（用空間向量方法解答）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1=3，數(shù)列{an+Sn}是公差為2的等差數(shù)列．
（1）證明數(shù)列{an-2}為等比數(shù)列；
（2）證明Sn＜2（n+1）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求函數(shù)y=
x+1
x-1
的導(dǎo)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（Ⅰ）已知函數(shù)f（x）=|x-1|，解不等式f（x）+x2-1＞0；
（Ⅱ）已知函數(shù)f（x）=|x+2|-|x-1|，解不等式f（x）≥5x．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}中，a1=1，a2=3，其前n項和為Sn，且當(dāng)n≥2時，
1
Sn
=
1
an
-
1
an+1
．
（1）求證：數(shù)列數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）另bn=
an
(
an
3
+1)(
an+1
3
+1)
，記數(shù)列的前n項的和為Tn，試證明：Tn＜
7
8
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=sinx（1+
1
cosx
）
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在其定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：
sinx
x
（1+
1
cosx
）＞2（0＜x＜
π
2
）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若關(guān)于x的函數(shù)y=|x-a|在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是
 
．

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