Question

函數(shù)y=cos³x-sin²x-5cosx，x∈R的值域為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)求解．

解答： 解：∵y=cos³x-sin²x-5cosx
∴y′=3cos²x（-sinx）-2sinxcosx+5sinx
=sinx（-3cos²x-2cosx+5）
=sinx（3cosx+5）（-cosx+1），
由y′=0，得sinx=0，cosx=1，cosx=-

5

3

（舍）．
∵sinx∈[-1，1]，cosx∈[-1，1]，
又sinx=0，cosx=1是y′=0的兩個不同的解，
∴

sinx=0 cosx=-1

或

cosx=1 sinx=0

，
當(dāng)

sinx=0 cosx=-1

時，y=-1-0+5=4；
當(dāng)

cosx=1 sinx=0

時，y=1-0-5=-4．
∵sinx＞0時，y′＞0；sinx＜0時，y′＜0．
sin²x+cos²x=1，
∴y_max=4，y_min=-4．
∴函數(shù)y=cos³x-sin²x-5cosx，x∈R的值域為[-4，4]．
故答案為：[-4，4]．

點評：本題考查函數(shù)的值域的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．