Question

若等差數(shù)列{a_n}的首項a₁=1，公差d≠0，從{a_n}中抽取部分項按照原來的順序組成一個新數(shù)列{b_n}，已知{b_n}為等比數(shù)列，且b₁=a₂，b₂=a₅，b₃=a₁₄．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若b_m=a_k，求S_k-T_m，（結(jié)果用只含m的式子表示）．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）寫出等差數(shù)列的通項公式，代入b22=b1b3求得d，則數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式可求；
（Ⅱ）分別寫出數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，結(jié)合b_m=a_k得到k與m的關(guān)系，作差后得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得a52=a2•a14，即（1+4d）²=（1+d）（1+13d），d≠0，解得d=2．
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=2n-1．
又∵b₁=a₂=3，b₂=a₅，=9，
∴公比q=3，{b_n}的通項公式為bn=3n；
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前k和為Sk=k+

k(k-1)

2

×2=k2．
數(shù)列{b_n}的前m和為Tm=

3-3m+1

1-3

=

3m+1-3

2

．
由b_m=a_k得3^m=2k-1，
∴k=

3m+1

2

．
∴Sk=k2=

9m+2×3m+1

4

．
∴所求的和為S=Sk-Tm=

9m-4×3m+7

4

．

點評：本題主要考查等差等比數(shù)列、以及數(shù)列的前n項和式等基礎(chǔ)知識，同時考查運算求解能力及推理論證能力，是中檔題．