Question

若函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镈，存在正數(shù)T，對(duì)任意的x∈D，都有f（T+x）≥f（x），則稱函數(shù)f（x）是D上的“T階高升函數(shù)”，已知函數(shù)g（x）=

|x-( 1 3 )m|-( 1 3 )m，x≥0 -|x+( 1 3 )m|+( 1 3 )m，x＜0

是實(shí)數(shù)集R上的

4

3

階高升函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先由函數(shù)的解析式推出所給的函數(shù)為奇函數(shù)，只要畫出x＞0時(shí)的圖象即可，因?yàn)?span id="o904fbi" class="MathJye">(

1

3

)m是一個(gè)正數(shù)，
當(dāng)0≤x≤(

1

3

)m時(shí)，g（x）=x；當(dāng)x≥(

1

3

)m時(shí)，g（x）=x-2(

1

3

)m，兩者都是線性的函數(shù)，函數(shù)圖象易畫，
再觀察函數(shù)的圖象使函數(shù)g（x）滿足：f（

4

3

+x）≥f（x）．

解答： 解：由函數(shù)g（x）的解析式易知g（-x）=-g（x），故g（x）為奇函數(shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
先畫x＞0的圖象：
當(dāng)0≤x≤(

1

3

)m時(shí)，g（x）=(

1

3

)m-x-(

1

3

)m=x，
當(dāng)x≥(

1

3

)m時(shí)，g（x）=x-(

1

3

)m-(

1

3

)m=x-2(

1

3

)m，
作出x≥0時(shí)的圖象后，再關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱作出x＜0時(shí)的圖象．
圖象如下圖：

其中A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為-(

1

3

)m、3(

1

3

)m，
∵函數(shù)g（x）是實(shí)數(shù)集R上的

4

3

階高升函數(shù)，
∴要使對(duì)任意的x∈R，都有f（

4

3

+x）≥f（x），只要使得A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差不超過

4

3

，
∴3(

1

3

)m-（-(

1

3

)m）≤

4

3

，
∴4(

1

3

)m≤

4

3

，∴(

1

3

)m≤

1

3

，
∴m≥1．
故答案為：m≥1

點(diǎn)評(píng)：此題屬于新定義的創(chuàng)新題，理解題中所給的定義是解題的關(guān)鍵；結(jié)合圖形做題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．