【題目】已知函數(shù),曲線在點處切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).
(1)求的解析式及單調(diào)減區(qū)間;
(2)是否存在常數(shù),使得對于定義域的任意恒成立,若存在,求出 的值;若
不存在,說明理由.
【答案】(1),減區(qū)間為和;(2).
【解析】
試題分析:(1)借助題設(shè)條件運用導數(shù)的幾何意義求解;(2)借助題設(shè)分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)運用導數(shù)的知識探求.
試題解析:
(1)函數(shù)的定義域為,又由題意有:,所以,故.此時,,由,解得或.所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和.
(2)要恒成立,即,即.①當時,,則要恒成立,令,則,令,則,所以在內(nèi)遞減,所以當時,,故,所以在內(nèi)遞增,,故.②當時,, 則要恒成立. 由①可知,當時,,所以在內(nèi)遞增,所以當時,,故,所以在內(nèi)遞增,,故. 綜合① ②可得:, 即存在常數(shù)滿足題意.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】劉徽是我國魏晉時期著名的數(shù)學家,他編著的《海島算經(jīng)》中有一問題:“今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直。從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合。從后表卻行百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合。問島高幾何?” 意思是:為了測量海島高度,立了兩根表,高均為5步,前后相距1000步,令后表與前表在同一直線上,從前表退行123步,人恰觀測到島峰,從后表退行127步,也恰觀測到島峰,則島峰的高度為( )(注:3丈=5步,1里=300步)
A. 4里55步 B. 3里125步 C. 7里125步 D. 6里55步
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)相鄰兩對稱軸間的距離為,若將的圖像先向左平移個單位,再向下平移1個單位,所得的函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求的解析式,并求的對稱中心;
(2)若關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了研究某種微生物的生長規(guī)律,需要了解環(huán)境溫度()對該微生物的活性指標的影響,某實驗小組設(shè)計了一組實驗,并得到如表的實驗數(shù)據(jù):
環(huán)境溫度() | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
活性指標 |
(Ⅰ)由表中數(shù)據(jù)判斷關(guān)于的關(guān)系較符合還是,并求關(guān)于的回歸方程(,取整數(shù));
(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)中的結(jié)果分析:若要求該種微生物的活性指標不能低于,則環(huán)境溫度應(yīng)不得高于多少?
附:,
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為了對某課題進行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位:人)
高校 | 相關(guān)人數(shù) | 抽取人數(shù) |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若從高校抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來自高校的概率.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線, 是焦點,直線是經(jīng)過點的任意直線.
(Ⅰ)若直線與拋物線交于、兩點,且(是坐標原點, 是垂足),求動點的軌跡方程;
(Ⅱ)若、兩點在拋物線上,且滿足,求證:直線必過定點,并求出定點的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正四棱錐中, ,側(cè)棱與底面所成角的正切值為.
(1)若是中點,求異面直線與所成角的正切值;
(2)求側(cè)面與底面所成二面角的大。
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