【題目】已知數(shù)列的前項和．

（1）計算，，，；

（2）猜想的表達式，并用數(shù)學歸納法證明你的結論．

【答案】（1）依題設可得，，，；

（2）猜想：．

證明：①當時，猜想顯然成立．

②假設時，猜想成立，

即．那么，當時，，即．

又，所以，

從而．即時，猜想也成立．

故由①和②，可知猜想成立．

【解析】試題分析：（1）采用賦值法，令，,先求，時，，求，然后令和時，分別求和；（2）根據(jù)（1）的結果，將前4項寫成，，，，觀察前4項的形式，猜想，最后按數(shù)學歸納法證明.

試題解析：（1）依題設可得，，，

（2）猜想：．

證明：①當n=1時，猜想顯然成立．

②假設n=k（）時，猜想成立，即．

那么，當n=k+1時，， 即．

又， 所以，

從而．

即n=k+1時，猜想也成立． 故由①和②，可知猜想成立．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 的短軸長為2，且函數(shù)的圖象與橢圓僅有兩個公共點，過原點的直線與橢圓交于兩點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）點為線段的中垂線與橢圓的一個公共點，求面積的最小值，并求此時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知（），，且直線與曲線相切.

（1）求的值；

（2）若對內(nèi)的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）求證： （）.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知為等差數(shù)列的前項和，且， .

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若，求證： ；

（3）求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓相交于兩點且.求證： 的面積為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為做好2022年北京冬季奧運會的宣傳工作，組委會計劃從某大學選取若干大學生志愿者，某記者在該大學隨機調(diào)查了300名大學生，以了解他們是否愿意做志愿者工作，得到的數(shù)據(jù)如表所示：

愿意做志愿者工作

不愿意做志愿者工作

合計

男大學生

180

女大學生

45

合計

200

（Ⅰ）根據(jù)題意完成表格；

（Ⅱ）是否有的把握認為愿意做志愿者工作與性別有關？

附：，

0.5

0.40

0.25

0.15

0.10

0.455

0.708

1.323

.072

2.706

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處切線與直線垂直(其中為自然對數(shù)的底數(shù)).

（1）求的解析式及單調(diào)減區(qū)間；

（2）是否存在常數(shù)，使得對于定義域的任意恒成立，若存在，求出 的值；若

不存在，說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線， 是焦點，直線是經(jīng)過點的任意直線．

（Ⅰ）若直線與拋物線交于、兩點，且（是坐標原點， 是垂足），求動點的軌跡方程；

（Ⅱ）若、兩點在拋物線上，且滿足，求證：直線必過定點，并求出定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】A，B兩城相距100 km，在兩地之間距A城x km處的D地建一核電站給A，B兩城供電．為保證城市安全，核電站與城市距離不得少于10 km.已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ＝0.25.若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．

(1)求x的取值范圍；

(2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù)；

(3)核電站建在距A城多遠，才能使供電費用最��？

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