Question

10．三棱錐A-BCD中，△BCD是邊長為1的正三角形，點A在平面BCD上的射影為△BCD的中心，E，F(xiàn)分別是BC，BA的中點，EF⊥FD，則三棱錐A-BCD的體積為$\frac{\sqrt{2}}{24}$，直線AB與平面BCD所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 （1）根據正三棱錐的性質得到AC⊥平面ABD，即AC⊥AB，設出AC=AB=AD=x，解出即可；
（2）得出P為底面三角形BCD的重心，求出∠ABP是直線AB與底面BCD所成的角，解三角形求出其正弦值即可．

解答 解：如圖示：
，
∵定點A在底面BCD上的射影為三角形BCD的中心，
而且底面BCD是正三角形，
∴三棱錐A-BCD是正三棱錐，
∵E、F分別是AB、BC的中點，
∴EF∥AC，又∵EF⊥DE，∴AC⊥DE，
取BD的中點O，連接AO、CO，
∵四面體A-BCD是正三棱錐，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，
∴BD⊥平面AOC，又AC?平面AOC，∴AC⊥BD，
又DF∩BD=D，∴AC⊥平面ABD，
∴AC⊥AB，
設AC=AB=AD=x，則x²+x²=1，解得：x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
V_C-ABD=$\frac{1}{3}$S_△ABD•AC=$\frac{1}{6}$AB•AD•AC=$\frac{\sqrt{2}}{24}$，
取CD的中點M，連接BM交CO于P，連接AP，
∴P為底面三角形BCD的重心（即中心），
∴∠ABP是直線AB與底面BCD所成的角，
∵底面BCD為邊長為1的正三角形，BM是CD邊上的高，
∴BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴BP=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AP=$\sqrt{{AB}^{2}{-BP}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴sin∠ABP=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{24}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了求三棱錐的體積問題，考查線面角問題，是一道難題．