Question

13．已知點(diǎn)P在直線x-2y-1=0上，點(diǎn)Q在直線x-2y+3=0上，線段PQ的中點(diǎn)為M（x₀，y₀）且y₀＞-x₀+2，則$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{y}_{0}^{2}}$的取值范圍是[$\sqrt{5}$，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得x₀=2y₀-1，代入消元后由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得．

解答 解：∵直線x-2y-1=0與直線x-2y+3=0平行，
∴線段PQ的中點(diǎn)為M（x₀，y₀）在與之平行的直線x-2y+1=0上，
∴x₀-2y₀+1=0，∴x₀=2y₀-1，
∵y₀＞-x₀+2，∴y₀＞-2y₀+1+2，解得y₀＞1，
∴$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{y}_{0}^{2}}$=$\sqrt{（2{y}_{0}-5）^{2}+{{y}_{0}}^{2}}$=$\sqrt{5{{y}_{0}}^{2}-20{y}_{0}+25}$，
由二次函數(shù)可知當(dāng)y₀=-$\frac{-20}{2×5}$=2（滿足y₀＞1）時(shí)上式取最小值$\sqrt{5×{2}^{2}-20×2+25}$=$\sqrt{5}$，
∴$\sqrt{（{x}_{0}-4）^{2}+{y}_{0}^{2}}$的取值范圍為：[$\sqrt{5}$，+∞）．
故答案為：[$\sqrt{5}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線間的距離，涉及二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬基礎(chǔ)題．