Question

已知方向向量為的直線l過(guò)點(diǎn)和橢圓的右焦點(diǎn)，且橢圓的離心率為．
（1）求橢圓C的方程：
（2）若已知點(diǎn)M，N是橢圓C上不重合的兩點(diǎn)，點(diǎn)D（3，0）滿足，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用條件求出直線l的方程，找出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓的離心率為，就可求出橢圓C的方程：
（2）把直線MN的方程與橢圓方程聯(lián)立找到關(guān)于點(diǎn)M，N縱坐標(biāo)的方程，再利用所給出的點(diǎn)M，N縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，二者聯(lián)立借助與判別式大于0就可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）因?yàn)橹本�l的方向向量為所以直線斜率為k=，
又因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)
所以直線方程為y+2=x
因?yàn)閍＞b，所以橢圓的右焦點(diǎn)為直線與軸的交點(diǎn)，∴橢圓的右焦點(diǎn)為（2，0），所以c=2
∵e==，∴a=，∴b²=a²-c²=2
∴橢圓方程為+=1
（2）由已知設(shè)直線MN的方程為x=my+3，
由⇒（m²+3）y²+6my+3=0，設(shè)M．N坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）
則y₁+y₂=-   ①y₁y₂=     ②
△=36m²-12（m²+3）＞0⇒m²＞
∵=（x₁-3，y₁），=（x₂-3，y₂），，顯然λ＞0且λ≠1
∴（x₁-3，y₁）=λ（x₂-3，y₂）∴y₁=λy₂，
代入①②得  =-2=10-，
∵m²＞⇒2＜＜10⇒
解得5-2＜λ＜5+2且λ≠1
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量共線問(wèn)題．還涉及到直線的方程與斜率，考查運(yùn)算能力與思維能力、綜合分析問(wèn)題的能力．