Question

我們把具有公共焦點(diǎn)、公共對(duì)稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．如圖，“盾圓C”是由橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)與拋物線y²=4x中兩段曲線弧合成，F(xiàn)₁、F₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)₂（1，0），A為橢圓與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，|AF2|=

5

2

．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存在過F₂的一條直線l，與“盾圓C”依次交于M、N、G、H四點(diǎn)，使得△F₁MH與△F₁NG的面積比為6：5？若存在，求出直線l方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）先求出A的坐標(biāo)，利用焦點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l為x=my+1（m≠0），代入橢圓方程與拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理，△F₁MH與△F₁NG的面積比，求出m的值，結(jié)合N、G坐標(biāo)為(2，2

2

)、 (

1

2

，-

2

)，其中2＞xA=

3

2

，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）由y²=4x的準(zhǔn)線為x=-1，∴|AF2|=xA+1=

5

2

，故記A(

3

2

，

6

)
又F₁（-1，0），所以2a=|AF1|+|AF2|=

7

2

+

5

2

=6，
故橢圓為

x2

9

+

y2

8

=1．…（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線l為x=my+1（m≠0），M（x_M，y_M）、N（x_N，y_N）、G（x_G，y_G）、H（x_H，y_H）
聯(lián)立

x=my+1 x2 9 + y2 8 =1

，得（8m²+9）y²+16my-64=0，…（6分）
則

yM+yH= -16m 8m2+9 yMyH= -64 8m2+9

①…（8分）
聯(lián)立

x=my+1 y2=4x

，得y²-4my-4=0，則

yN+yG=4m yNyG=-4

②（10分）
△F₁MH與△F₁NG的面積比

S△F1MH

S△F1NG

=

|MH|

|NG|

=

|yM-yH|

|yN-yG|

=

(16m)2+4×64(8m2+9) 8m2+9

16m2+16

整理得

S△F1MH

S△F1NG

=

12

8m2+9

=

6

5

⇒m2=

1

8

…（12分）
若m=

2

4

，由②知N、G坐標(biāo)為(2，2

2

)、 (

1

2

，-

2

)，其中2＞xA=

3

2

，故N不在“盾圓C”上；
同理m=-

2

4

也不滿足，故符合題意的直線l不存在．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，考查直線與橢圓、拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，有難度．