Question

若直線y=kx+2與曲線y=

x2-1 ，|x|＞1 1-x2 ，|x|≤1

恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k∈

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：數(shù)形結(jié)合,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：作出曲線y=

x2-1 ，|x|＞1 1-x2 ，|x|≤1

對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象，即可求出k的取值范圍．

解答： 解：曲線y=

x2-1 ，|x|＞1 1-x2 ，|x|≤1

對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象如圖所示．
當(dāng)直線y=kx+2與半圓相切時(shí)，k=±

3

滿足題意；
當(dāng)直線y=kx+2過（±1，0）時(shí)，k=±2滿足題意；
|x|＞1時(shí)，y=

x2-1

為雙曲線在x軸上方的部分，其漸近線為y=±x．
故當(dāng)直線y=kx+2與漸近線平行時(shí)，k=±1，
∴-1＜k＜1時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴k∈{k|-1＜k＜1，或k=±

3

，或k=±2}．
故答案為：{k|-1＜k＜1，或k=±

3

，或k=±2}．

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)直線與曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線斜率k的取值范圍，著重考查了曲線與方程的化簡(jiǎn)和直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中檔題．