Question

已知點(diǎn)P（a+1，b+1），Q（1，0），線段PQ與直線2x-3y+1=0有交點(diǎn)，若存在M∈R⁺，使得-b-a²≤M恒成立，則M的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意知，P，Q兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，故有（2（a+1）-3（b+1）+1）•（2+1）≤0．求出ab關(guān)系，然后利用函數(shù)恒成立，求出-b-a²的最大值即可．

解答： 解：∵點(diǎn)P（a+1，b+1），Q（1，0），線段PQ與直線2x-3y+1=0有交點(diǎn)，
∴P，Q兩點(diǎn)在直線的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，
∴（2（a+1）-3（b+1）+1）•（2+1）≤0，解得：2a-3b≤0，
∴b≥

2

3

a，
∴-b-a²≤-

2

3

a-a2=-（a+

1

3

）²+

1

9

≤

1

9

．
存在M∈R⁺，使得-b-a²≤M恒成立，則M的最小值：

1

9

．
故答案為：

1

9

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩條直線的交點(diǎn)問題，考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，以及函數(shù)恒成立指數(shù)，容易找到簡(jiǎn)單正確的解題方法，考查計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．