Question

設(shè)函數(shù)f（x）=1-

2

2x+1

（1）判斷并證明函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）解不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷即可．
（2）利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
則f（-x）=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

1+2x

=-

2x-1

2x+1

=-f（x），
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）∵y=2^x+1是增函數(shù)，
∴根據(jù)函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可知函數(shù)f（x）=1-

2

2x+1

單調(diào)遞增，
則不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0等價(jià)為f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
則1-m＜m²-1，
即m²+m-2＞0，
∴m＞1或m＜-2．
即不等式的解集為{x|m＞1或m＜-2}

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵．