Question

10．定義：圓心到直線的距離與圓的半徑之比為直線關(guān)于圓的距離比λ；
（1）設(shè)圓C₀：x²+y²=1，求過(guò)P（2，0）的直線關(guān)于圓C₀的距離比λ=$\sqrt{3}$的直線方程；
（2）若圓C與y軸相切于點(diǎn)A（0，3），且直線y=x關(guān)于圓C的距離比λ=$\sqrt{2}$，求此圓C的方程；
（3）是否存在點(diǎn)P，使過(guò)P的任意兩條互相垂直的直線分別關(guān)于相應(yīng)兩圓C₁：（x+1）²+y²=1與C₂：（x-3）²+（y-3）²=4的距離比始終相等？若存在，求出相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)過(guò)P（2，0）的直線方程為y=k（x-2），求得已知圓的圓心和半徑，由新定義，可得方程，求得k，即可得到所求直線方程；
（2）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，由題意可得a²+（3-b）²=r²，①|(zhì)a|=r②，$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$r③，解方程可得a，b，r，進(jìn)而得到所求圓的方程；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（m，n），設(shè)過(guò)P的兩直線為y-n=k（x-m）和y-n=-$\frac{1}{k}$（x-m），求得兩圓的圓心和半徑，由新定義可得方程，化簡(jiǎn)整理可得k（2m+n-1）+（m-2n-3）=0，或k（2m-n+5）+（3-m-2n）=0，再由恒成立思想可得m，n的方程，解方程可得P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）設(shè)過(guò)P（2，0）的直線方程為y=k（x-2），
圓C₀：x²+y²=1的圓心為（0，0），半徑為1，
由題意可得$\frac{|2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
解得k=±$\sqrt{3}$，
即有所求直線為y=±$\sqrt{3}$（x-2）；
（2）設(shè)圓C的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
由題意可得a²+（3-b）²=r²，①
|a|=r②，$\frac{|a-b|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$r③
解方程可得a=-3，b=3，r=3，或a=1，b=3，r=1．
則有圓C的方程為（x+3）²+（y-3）²=9或（x-1）²+（y-3）²=1；
（3）假設(shè)存在點(diǎn)P（m，n），設(shè)過(guò)P的兩直線為y-n=k（x-m）和
y-n=-$\frac{1}{k}$（x-m），又C₁：（x+1）²+y²=1的圓心為（-1，0），半徑為1，
C₂：（x-3）²+（y-3）²=4的圓心為（3，3），半徑為2，
由題意可得$\frac{|k+km-n|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{|\frac{3}{k}+3-\frac{m}{k}-n|}{2\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}}$，
化簡(jiǎn)可得k（2m+n-1）+（m-2n-3）=0，或k（2m-n+5）+（3-m-2n）=0，
即有$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=1}\\{m-2n=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{2m-n=-5}\\{m+2n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{7}{5}}\\{n=\frac{11}{5}}\end{array}\right.$．
則存在這樣的點(diǎn)P（1，-1）和（-$\frac{7}{5}$，$\frac{11}{5}$），使得使過(guò)P的任意兩條互相垂直的直線
分別關(guān)于相應(yīng)兩圓的距離比始終相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查直線和圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，考查恒成立問(wèn)題的解法，屬于中檔題．