Question

20．已知直線x-2y+2=0與圓C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求圓C的方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)O作圓C的兩條切線，與函數(shù)y=x²的圖象相交于M、N兩點(diǎn)（異于原點(diǎn)），證明：直線MN與圓C相切；
（3）若函數(shù)y=x²圖象上任意三個(gè)不同的點(diǎn)P、Q、R，且滿足直線PQ和PR都與圓C相切，判斷線QR與圓C的位置關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）求得圓心到直線的距離，由弦長(zhǎng)公式，計(jì)算即可得到m=3，進(jìn)而得到圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的切線方程為y=kx，即kx-y=0，運(yùn)用直線和圓相切的條件，求得k，由切線方程和拋物線方程聯(lián)立，求得交點(diǎn)，即可得證；
（3）設(shè)P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），求得直線PQ，PR，QR的方程，運(yùn)用直線和圓相切的條件，化簡(jiǎn)整理，再由韋達(dá)定理，可得b，c的關(guān)系，再由圓心到直線QR的距離，即可判斷所求位置關(guān)系．

解答 （1）解：圓C：x²+y²-4y+m=0，可化為圓x²+（y-2）²=-m+4，
圓心到直線的距離d=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∵截得的弦長(zhǎng)為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴（$\frac{\sqrt{5}}{5}$）²+（$\frac{2}{\sqrt{5}}$）²=-m+4，
∴m=3，
∴圓C的方程為x²+（y-2）²=1；
（2）證明：設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的切線方程為y=kx，即kx-y=0，
圓心到直線的距離$\frac{2}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，∴k=±$\sqrt{3}$，
∴設(shè)過(guò)原點(diǎn)O的切線方程為y=±$\sqrt{3}$x，
與函數(shù)y=x²，聯(lián)立可得x=±$\sqrt{3}$，∴y=3與圓C相切；
（3）解：設(shè)P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），可得k_PQ=$\frac{^{2}-{a}^{2}}{b-a}$=a+b，
直線PQ的方程為y-a²=（a+b）（x-a），即為y=（a+b）x-ab，
同理可得，直線PR的方程為y=（a+c）x-ac，
直線QR的方程為y=（b+c）x-bc，
∵直線PQ和PR都與圓C相切，
∴$\frac{|2+ab|}{\sqrt{（a+b）^{2}+1}}$=1，$\frac{|2+ac|}{\sqrt{（a+c）^{2}+1}}$=1，即為b²（1-a²）-2ab+a²-3=0，
c²（1-a²）-2ac+a²-3=0，即有b，c為方程x²（1-a²）-2ax+a²-3=0的兩根，
可得b+c=$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$，bc=$\frac{{a}^{2}-3}{1-{a}^{2}}$，
由圓心到直線QR的距離為$\frac{|2+bc|}{\sqrt{1+（b+c）^{2}}}$=$\frac{|2+\frac{{a}^{2}-3}{1-{a}^{2}}|}{\sqrt{1+（\frac{2a}{1-{a}^{2}}）^{2}}}$=$\frac{|\frac{-1-{a}^{2}}{1-{a}^{2}}|}{|\frac{1+{a}^{2}}{1-{a}^{2}}|}$=1，
則直線QR與圓C相切．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考查直線和圓相交的弦長(zhǎng)公式和相切的條件：d=r，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．