Question

11．函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{{x^2}+1}}$的值域是[$-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 根據(jù)解析式便可看出，可以分子分母同除以x，從而需討論x是否為0：x=0時，便有f（x）=0；x≠0時，原函數(shù)可以變成$f（x）=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$，這樣根據(jù)基本不等式便可求出$x+\frac{1}{x}$的范圍，從而求出$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$的范圍，從而得出f（x）的范圍，再并上f（x）=0便可得出該函數(shù)的值域．

解答 解：①若x=0，f（x）=0；
②x≠0時，f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}=\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$；
∴1）x＞0時，$x+\frac{1}{x}≥2$，x=1時取“=”；
∴$0＜\frac{1}{x+\frac{1}{x}}≤\frac{1}{2}$；
∴$0＜f（x）≤\frac{1}{2}$；
2）x＜0時，$x+\frac{1}{x}=-[（-x）+\frac{1}{-x}]≤-2$，x=-1時取“=”；
∴$-\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}＜0$；
∴$-\frac{1}{2}≤f（x）＜0$；
∴綜上得函數(shù)f（x）的值域為$[-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}]$．
故答案為：[$-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}$]．

點評 考查函數(shù)值域的概念，基本不等式在求值域中的應(yīng)用，注意基本不等式所具備的條件，不要漏了x=0的情況．