Question

在一條筆直的工藝流水線上有n個(gè)工作臺(tái)，將工藝流水線用如圖所示的數(shù)軸表示，各工作臺(tái)的坐標(biāo)分別為x₁，x₂，…，x_n，每個(gè)工作臺(tái)上有若干名工人．現(xiàn)要在流水線上建一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短．

（Ⅰ）若n=2，每個(gè)工作臺(tái)上只有一名工人，試確定供應(yīng)站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作臺(tái)從左到右的人數(shù)依次為3，2，1，2，2，試確定供應(yīng)站的位置，并求所有工人到供應(yīng)站的距離之和的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,絕對(duì)值不等式

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）若n=2，根據(jù)條件建立d（x）的關(guān)系式，即可確定供應(yīng)站的位置；
（Ⅱ）若n=5，根據(jù)條件建立d（x）的關(guān)系式，即可確定供應(yīng)站的位置．

解答： 解：設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為x，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）．
（Ⅰ）d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|=

-2x+(x1+x2)，x＜x1 x2-x1，x1≤x≤x2 2x-(x1+x2)，x＞x2

，
當(dāng)x＜x₁時(shí)，d（x）=-2x+（x₁+x₂）在區(qū)間（-∞，x₁）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞x₂時(shí)，d（x）=2x-（x₁+x₂）在區(qū)間（x₂，+∞）上是增函數(shù)．
則當(dāng)x∈[x₁，x₂]時(shí)，d（x）=x₂-x₁式取最小值，即供應(yīng)站的位置為[x₁．x₂]內(nèi)的任意一點(diǎn)．  
（Ⅱ）由題設(shè)知，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）=3|x-x₁|+2|x-x₂|+|x-x₃|+2|x-x₄|+2|x-x₅|，
類似于（Ⅰ）的討論知，x₁≤x≤x₅，且有d(x)=

2x1+x3+2x4+2x5-3x1-4x，x1≤x＜x2 x3+2x4+2x5-3x1-2x2，x2≤x＜x3 2x+2x4+2x5-3x1-2x2-x3，x3≤x＜x4 6x+2x5-3x1-2x2-x3-2x4，x4≤x＜x5

，
所以，函數(shù)d（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上是減函數(shù)，在區(qū)間（x₃，x₅）上是增函數(shù)，在區(qū)間[x₂，x₃]上是常數(shù)．
故供應(yīng)站位置位于區(qū)間[x₂，x₃]上任意一點(diǎn)時(shí)，均能使函數(shù)d（x）取得最小值，且最小值為x₃+2x₄+2x₃-3x₁-2x₂，x₂≤x≤x₃．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查分段函數(shù)的最值的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，難度較大．