Question

如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，短軸長為2．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），若直線y=kx+2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點？請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由離心率的計算公式和a²=b²+c²及b=1即可得到a²得到橢圓的方程；
（2）把直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，轉化為關于x的一元二次方程，得到根與系數(shù)的關系，假設以CD為直徑的圓過E點，則

EC

•

ED

=0，將它們聯(lián)立消去x₁，x₂即可得出k的值．

解答： 解：（1）∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

（a＞b＞0）的離心率e=

6

3

，短軸長為2，
∴

a2-b2 a = 6 3 b=1

，
∴a=

3

，b=1，
橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（2）假若存在這樣的k值，由

y=kx+2 x2+3y2-3=0

得（1+3k²）x²+12kx+9=0．
∴△=（12k）²-36（1+3k²）＞0①
設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則

x1+x2=- 12k 1+3k2 x1•x2= 9 1+3k2

②
若以CD為直徑的圓過E點，則

EC

•

ED

=0，即（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
而y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4，
代入上式得，化為（k²+1）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0．
把（**）代入上式得

9k2

1+3k2

-

12k(2k+1)

1+3k2

+5=0
解得k=

7

6

，滿足k²＞1．
∴存在k=

7

6

，使得以線段CD為直徑的圓過E點．

點評：熟練掌握橢圓的方程、離心率的計算公式和a²=b²+c²、直線與橢圓的相交問題轉化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到關于x的一元二次方程及根與系數(shù)的關系是解題的關鍵．