Question

已知向量

a

=（sin（

x

2

+

π

12

），cos

x

2

），

b

=（cos（

x

2

+

π

12

），-cos

x

2

），x∈[

π

2

，π]，設(shè)函f（x）=

a

•

b

．
（1）若cosx=-

3

5

，求函數(shù)f（x）的值；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象先向右平移m個單位，再向上平移n個單位，使平移后的圖象關(guān)于原點對稱，若0＜m＜π，n＞0，試求m，n的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得sinx=

4

5

，可得f（x）=

a

•

b

=

1

2

(

3

2

sinx-

1

2

cosx-1)，代值計算可得；（2）由圖象變換的知識可知平移后y=

1

2

sin(x-m-

π

6

)-

1

2

+n，由對稱性可得y=

1

2

sin(x-m-

π

6

)-

1

2

+n=±

1

2

sinx，可得m，n的值．

解答： 解：（1）∵cosx=-

3

5

，x∈[

π

2

，π]，∴sinx=

4

5

．
∴f（x）=

a

•

b

=sin(

x

2

+

π

12

)•cos(

x

2

+

π

12

)-cos2

x

2

=

1

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

（1+cosx）
=

1

2

(

3

2

sinx-

1

2

cosx-1)=

3

5

-

7

20

；
（2）由（1）知f（x）=

1

2

(

3

2

sinx-

1

2

cosx-1)=

1

2

•sin(x-

π

6

)-

1

2

，
f（x）的圖象向右平移m個單位，再向上平移n個單位后，
變?yōu)?span id="vrxtp5h" class="MathJye">y=

1

2

sin(x-m-

π

6

)-

1

2

+n，…（9分）
由于其圖象關(guān)于原點對稱，故y=

1

2

sin(x-m-

π

6

)-

1

2

+n=±

1

2

sinx，
則m，n的值分別為

5π

6

，

1

2

點評：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及圖象的變換，屬中檔題．