已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-
π
6
)-a+2(其中a為常數(shù)).
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若x∈[0,
π
2
]時,f(x)的最大值為3,求a的值;
(3)求出使f(x)取最大值時x取值的集合.
考點:正弦函數(shù)的單調(diào)性,三角函數(shù)的最值
專題:三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析:(1)對于函數(shù)f(x)=2sin(2x-
π
6
)-a+2,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得它的單調(diào)區(qū)間.
(2)根據(jù)x∈[0,
π
2
]時,利用正弦函數(shù)的定義域和值域,求得函數(shù)f(x)的最大值.
(3)當(dāng)f(x)取最大值時,應(yīng)有2x-
π
6
=
π
2
+2kπ,k∈z,由此求得此時x取值的集合.
解答: 解:(1)對于函數(shù)f(x)=2sin(2x-
π
6
)-a+2,
令2kπ-
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
π
2
,k∈z,求得 kπ-
π
6
≤x≤kπ+
π
3
,
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-
π
6
,kπ+
π
3
],k∈z.
令2kπ+
π
2
≤2x-
π
6
≤2kπ+
2
,k∈z,求得 kπ+
π
3
≤x≤kπ+
6
,
故函數(shù)的減區(qū)間為[kπ+
π
3
,kπ+
6
],k∈z
(2)∵x∈[0,
π
2
]時,2x-
π
6
∈[-
π
6
,
6
],∴-
1
2
≤sin(2x-
π
6
)≤1,
故函數(shù)f(x)的最大值為2-a+2=4-a=3,∴a=1.
(3)求出使f(x)取最大值時,有 2x-
π
6
=
π
2
+2kπ,求得 x=
π
3
+kπ,k∈z,
故此時x取值的集合為 {x|x=
π
3
+kπ,k∈z }.
點評:本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦函數(shù)的定義域和值域,求三角函數(shù)的最值,屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其左、右焦點分別為F1、F2,離心率為
6
3
,點R坐標(biāo)為(2
2
6
),又點F2在線段RF1的中垂線上.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)橢圓C的左右頂點分別為A1,A2,點P在直線x=-2
3
上(點P不在x軸上),直線PA1與橢圓C交于點N,直線PA2與橢圓C交M,線段MN的中點為Q,證明:2|A1Q|=|MN|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知|
a
|=2,|
b
|=1,
a
b
的夾角為
π
3

(Ⅰ)求
a
b

(Ⅱ)求|
a
+
b
|.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)A是圓x2+y2=1上的動點,點A在x軸上的投影為B,點P在AB上,記點P的軌跡為曲線C.過原點斜率為k的直線交曲線C于M,N兩點(其中M在第一象限),MG⊥x軸于點G,連接NG,直線NG交曲線C于另一點H.
(Ⅰ)若P為AB的中點,求曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若點P滿足|AB|=m|PB|(m>0且m≠1),求曲線C的方程.并探究是否存在實數(shù)m,使得對任意k>0,都有MN⊥MH.若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(sin(
x
2
+
π
12
),cos
x
2
),
b
=(cos(
x
2
+
π
12
),-cos
x
2
),x∈[
π
2
,π],設(shè)函f(x)=
a
b

(1)若cosx=-
3
5
,求函數(shù)f(x)的值;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象先向右平移m個單位,再向上平移n個單位,使平移后的圖象關(guān)于原點對稱,若0<m<π,n>0,試求m,n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=-x3+x2(x∈R),g(x)滿足g′(x)=
a
x
(a∈R,x>0),且g(e)=a,e為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)已知h(x)=e1-xf(x),求h(x)在(1,h(1))處的切線方程;
(Ⅱ)若存在x∈[1,e],使得g(x)≥-x2+(a+2)x成立,求a的取值范圍;
(Ⅲ)設(shè)函數(shù)F(x)=
f(x),x<1
g(x),x≥1
,O為坐標(biāo)原點,若對于y=F(x)在x≤-1時的圖象上的任一點P,在曲線y=F(x)(x∈R)上總存在一點Q,使得
OP
OQ
<0,且PQ的中點在y軸上,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定點A(6,2),P是橢圓
x2
25
+
y2
9
=1上的動點,求線段AP中點M的軌跡方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=
e1
+
e2
,
b
=4
e1
+3
e2
,其中
e1
=(1,0),
e2
=(0,1),
(1)試計算
a
b
及|
a
+
b
|的值;
(2)求向量
a
b
的夾角的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某工廠生產(chǎn)了A,B,C,D,E五類不同的產(chǎn)品,現(xiàn)從某批產(chǎn)品中隨機抽取20個,對其進行統(tǒng)計分析,得到頻率分布表如下:
種類ABCDE
頻率0.05X0.150.35Y
(Ⅰ)在抽取的20個產(chǎn)品中,產(chǎn)品種類為E的恰有2個,求X,Y的值;
(Ⅱ)在(I)的條件下,從產(chǎn)品種類為C和E的產(chǎn)品中,任意抽取2個,求抽取的2個產(chǎn)品種類相同的概率.

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同步練習(xí)冊答案