Question

1．函數(shù)f（x）=mx|x-a|-|x|+1
（1）若m=1，a=0，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若a=1，試討論f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將m=1，a=0代入函數(shù)表達(dá)式，通過討論x的范圍，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，從而求出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）將a=1代入函數(shù)的表達(dá)式，通過討論x的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）若m=1，a=0，
則f（x）=x|x|-|x|+1，
①x≥0時(shí)，f（x）=x²-x+1，
對稱軸x=$\frac{1}{2}$，開口向上，
∴f（x）在[0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增；
②x＜0時(shí)，f（x）=-x²+x+1，
對稱軸x=$\frac{1}{2}$，開口向下，
∴f（x）在（-∞，0）遞增；
綜上：f（x）在（-∞，0）遞增，在[0，$\frac{1}{2}$）遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增．
（2）a=1時(shí)，f（x）=mx|x-1|-|x|+1，
①x＜0時(shí)，f（x）=mx（1-x）+x+1=-mx²+（m+1）x+1，
△=（m+1）²+4m=m²+6m+1，
令m²+6m+1=0，解得：m=-3±2$\sqrt{2}$，
當(dāng)m＜-3-2$\sqrt{2}$或x＞-3+2$\sqrt{2}$時(shí)，△＞0，有2個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)-3-2$\sqrt{2}$＜m＜-3+2$\sqrt{2}$時(shí)，△＜0，沒有零點(diǎn)，
當(dāng)m=-3±2$\sqrt{2}$時(shí)，△=0，有1個(gè)零點(diǎn)；
②0≤x≤1時(shí)，f（x）=mx（1-x）-x+1=-mx²+（m-1）x+1，
△=（m+1）²≥0，
m=-1時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，m≠-1時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；
③x＞1時(shí)，f（x）=mx（x-1）-x+1=mx²-（m+1）x+1，
△=（m-1）²≥0，
m=1時(shí)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)，m≠1時(shí)，函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論思想，是一道中檔題．