Question

12．某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組對該校高三學(xué)生視力情況進(jìn)行調(diào)查，在高三的全體1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的體檢表，并得到如圖直方圖：
（Ⅰ）若直方圖中前三組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，試估計(jì)全年級視力在5.0以下的人數(shù)；
（Ⅱ）學(xué)習(xí)小組成員發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)成績突出的學(xué)生，近視的比較多，為了研究學(xué)生的視力與學(xué)習(xí)成績是否有關(guān)系，對年級名次在1～50名和951～1000名的學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

是否近視 年級名次	1～50	951～1000
近視	41	32
不近視	9	18

根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，能否在犯錯的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系？
（Ⅲ）在（Ⅱ）中調(diào)查的100名學(xué)生中，按照分層抽樣在不近視的學(xué)生中抽取了9人，進(jìn)一步調(diào)查他們良好的護(hù)眼習(xí)慣，并且在這9人中任取3人，記名次在1～50名的學(xué)生人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

P（K2≥k）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

附：
${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用直方圖中前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，求出視力在5.0以下的頻率，即可估計(jì)全年級視力在5.0以下的人數(shù)；
（Ⅱ）求出K²，與臨界值比較，即可得出結(jié)論；
（Ⅲ）依題意9人中年級名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，X可取0，1，2，3，求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)各組的頻率為f_i（i=1，2，3，4，5，6），
由前三組的頻數(shù)成等比數(shù)列，后四組的頻數(shù)成等差數(shù)列，可得前三組的頻率成等比數(shù)列，后四組的頻率成等差數(shù)列，故f₁=0.15×0.2=0.03，f₂=0.45×0.2=0.09，${f_3}=\frac{f_2^2}{f_1}=0.27$…（1分）
所以由$\frac{{（{f_3}+{f_6}）•4}}{2}=1-（0.03+0.09）$得f₆=0.17，…（2分）
所以視力在5.0以下的頻率為1-0.17=0.83，…（3分）
故全年級視力在5.0以下的人數(shù)約為1000×0.83=830…（4分）
（Ⅱ）${k^2}=\frac{{100×{{（41×18-32×9）}^2}}}{50×50×73×27}=\frac{300}{73}≈4.110＞3.841$…（6分）
因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為視力與學(xué)習(xí)成績有關(guān)系．…（7分）
（Ⅲ）依題意9人中年級名次在1～50名和951～1000名分別有3人和6人，…（8分）
X可取0，1，2，3$P（X=0）=\frac{C_6^3}{C_9^3}=\frac{20}{84}$，$P（X=1）=\frac{C_6^2C_3^1}{C_9^3}=\frac{45}{84}$，$P（X=2）=\frac{C_6^1C_3^2}{C_9^3}=\frac{18}{84}$，$P（X=3）=\frac{C_3^3}{C_9^3}=\frac{1}{84}$
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	$\frac{20}{84}$	$\frac{45}{84}$	$\frac{18}{84}$	$\frac{1}{84}$

…（11分）
X的數(shù)學(xué)期望$E（X）=0×\frac{20}{84}+1×\frac{45}{84}+2×\frac{18}{84}+3×\frac{1}{84}=1$…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直方圖，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查求X的分布列和數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．