Question

6．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為${s_n}={n^2}-7n$
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式，并判斷{a_n}是不是等差數(shù)列，如果是求出公差，如果不是說明理由
（2）求數(shù)列{|a_n|}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）n=1時，a₁=S₁=-6，n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n-8，故通項公式a_n=2n-8，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可判斷該數(shù)列是等差數(shù)列，且公差d=2；
（2）由a_n=2n-8≥0，得n≥4，故數(shù)列{a_n}前三項為負項，從第四項起為非負項，對n分類討論，利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得T_n．

解答 解：（1）n=1時，a₁=S₁=-6，
n≥2時，${S}_{n-1}=（n-1）^{2}-7（n-1）={n}^{2}-9n+8$，
a_n=S_n-S_n-1=（n²-7n）-（n²-9n+8）=2n-8，
a₁=-6也符合上式
故a_n=2n-8，n∈N₊
∵n≥2時，a_n-a_n-1=（2n-8）-（2n-10）=2
∴{a_n}是等差數(shù)列，公差d=2．
（2）由a_n=2n-8≥0，得n≥4，故數(shù)列{a_n}前三項為負項，從第四項起為非負項．
n≤3時，T_n=-S_n=-n²+7n，
n≥4時，T_n=-（a₁+a₂+a₃）+（a₄+…+a_n）=-S₃+（S_n-S₃）=n²-7n+24
故${T}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+7n，n≤3}\\{{n}^{2}-7n+24，n≥4}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了由數(shù)列前n項和求通項公式，等差數(shù)列的判定，以及等差數(shù)列前n項的絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要注意分類討論思想的合理運用．