Question

8．已知f（x）是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（x+1），0≤x＜1}\\{1-|x-3|，x≥1}\end{array}\right.$則函數(shù)y=f（x）+$\frac{1}{2}$的所有零點(diǎn)之和是（　�。�

• A． 1-$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． 5-$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$-5

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)和奇函數(shù)的性質(zhì)分別求出每段上的零點(diǎn)，再求其和即可．

解答 解：當(dāng)x≥1時(shí)，
則1-|x-3|+$\frac{1}{2}$=0，解得x=$\frac{9}{2}$，或x=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)0≤x＜1時(shí)，則log${\;}_{\frac{1}{2}}$（x+1）+$\frac{1}{2}$=0，解得x=$\sqrt{2}$-1，
∵f（x）為奇函數(shù)，
∴當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，f（x）=-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1），則-log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x+1）+$\frac{1}{2}$=0，解得x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$（舍去），
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=-1+|x+3|，則-1+|x+3|+$\frac{1}{2}$=0，解得x=-$\frac{7}{2}$或x=-$\frac{5}{2}$，
故所有的零點(diǎn)之和為$\frac{9}{2}$+$\frac{3}{2}$+$\sqrt{2}$-1-$\frac{7}{2}$-$\frac{5}{2}$=$\sqrt{2}$-1，
故選：B

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)和分段函數(shù)以及奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．