Question

已知圓C：x²+y²-2x+4y-4=0．
（1）過定點（1，0）且傾斜角為

3π

4

的直線l與圓Q相交于A，B兩點，求線段AB的長；
（2）過坐標點（-1，-1）作圓Q的兩條互相垂直的弦CD、EF，求CD+EF的長度最大值．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用,圓的一般方程,直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：（1）求出直線方程，根據(jù)直線和圓相交所得的弦長公式即可求線段AB的長；
（2）由于直線CD、EF均過M點，故可以考慮設兩個直線的方程為點斜式方程，但由于點斜式方程不能表示斜率不存在的情況，故要先討論斜率不存在和斜率為0的情況，然后利用弦長公式，及基本不等式進行求解．

解答： 解：（1）圓C的標準方程為（x-1）²+（y+2）²=9．得到圓心C（1，-2），半徑r=3．
過點（1，0）且傾斜角為

3π

4

的直線l的斜率k=tan

3π

4

=-1，
則對應的方程為y=-（x-1），即x+y-1=0，
圓心到直線的距離d=

|1|

2

=

2

2

，
則線段AB=2

r2-d2

=2

9- 1 2

=

34

．
（2）∵坐標點（-1，-1）在圓內(nèi)，
∴當CD的斜率為0或不存在時，可求得CD+EF=4

2

+2

5

，
當CD的斜率存在且不為0時，
設直線CD的方程為y+1=k（x+1），即kx-y+k-1=0
直線EF的方程為y+1=-

1

k

（x+1），即x+ky+k+1=0，
圓心到CD的距離d=

|2k+1|

1+k2

，圓心到EF的距離d=

|k-2|

1+k2

，
由弦長公式l=2

r2-d2

可得：CD=2

5k2-4k+8 1+k2

EF=2

8k2+4k+5 1+k2

，
∵CD²+EF²=4（

5k2-4k+8

1+k2

+

8k2+4k+5

1+k2

）=4×

13(k2+1)

1+k2

=52，
∴（CD+EF）²=CD²+EF²+2CD×EF≤2（CD²+EF²）=104
故CD+EF≤

104

=2

26

即AC+BD的最大值為2

26

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，直線方程的應用，基本不等式的應用，點到直線的距離公式，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力，綜合性較強，運算量較大，有一點的難度．