Question

如圖一，△ABC是正三角形，△ABD是等腰直角三角形，AB=BD=2．將△ABD沿邊AB折起，使得△ABD與△ABC成30°的二面角D-AB-C，如圖二，在二面角D-AB-C中．
（1）求D、C之間的距離；
（2）求CD與面ABC所成的角的大�。�
（3）求證：對(duì)于AD上任意點(diǎn)H，CH不與面ABD垂直．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）依題意建立空間直角坐標(biāo)系使得△ABC在yoz平面上，由已知條件分別求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的空間坐標(biāo)，利用空間兩點(diǎn)間的距離公式能求出D、C之間的距離．
（2）由題設(shè)條件求出面ABC的一個(gè)法向量和向量

CD

，利用向量法能求出CD與平面ABC所成的角．
（3）

AH

=t

AB

，假設(shè)

CH

⊥

BA

，求出t的值，而此時(shí)CH和BD不垂直，CH不可能同時(shí)垂直BD和BA，問題得以證明

解答： 解：（1）依題意，∠ABD=90°，建立如圖的坐標(biāo)系使得△ABC在yoz平面上，
∵△ABD與△ABC成30°的二面角，∴∠DBY=30°，
又AB=BD=2，∴A（0，0，2），B（0，0，0），
C（0，

3

，1），D（1，

3

，0），
|CD|=

12+02+(-1)2

=

2

，
（2）∵x軸與面ABC垂直，∴（1，0，0）是面ABC的一個(gè)法向量．
設(shè)CD與面ABC成的角為θ，
∵

CD

=（1，0，-1），
∴sinθ=

|(1，0，0)•(1，0．-1)|

12+02+02 • 12+02+(-1)2

=

2

2

．
∵θ∈[0，

π

2

]，∴θ=

π

4

；
∴CD與平面ABC的所成角是

π

4

．
（3）設(shè)

AH

=t

AB

=t（1，

3

，-2）=（t，

3

t，-2t），
∴

CH

=

CA

+

AH

=（0，-

3

，1）+（t，

3

t，-2t）=（t，

3

t-

3

，-2t+1），
若

CH

⊥

BA

，則（t，

3

t-

3

，-2t+1）•（0，0，2）=0，
解得t=

1

2

，
∴此時(shí)

CH

=（

1

2

，-

3

2

，0）
∵

BD

=（1，

3

，0），
∴

CH

•

BD

=

1

2

-

3

2

=-1≠0，
∴CH和BD不垂直，
即CH不可能同時(shí)垂直BD和BA，
即對(duì)于AD上任意點(diǎn)H，CH不與面ABD垂直．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間兩點(diǎn)間的距離的求法，直線與平面所成角的大小的求法，線面垂直的判定定理，解題時(shí)要恰當(dāng)?shù)亟�立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解，屬于中檔題