Question

【題目】已知函數(shù)，若函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為，則的取值范圍為______.

Answer 1

【答案】

【解析】

由題意結(jié)合函數(shù)的解析式和函數(shù)圖象確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可．

解：原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為，

繪制函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，

繪制函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為：，

由函數(shù)與在上的交點(diǎn)有兩個(gè)，

根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性有，這兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱。

所以函數(shù)與在上的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為1.

所以函數(shù)與在上的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為0.

因此原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)在上的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為

當(dāng)，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上各有兩個(gè)交點(diǎn).

顯然這些交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和大于3.所以

當(dāng)，若函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，則根據(jù)對(duì)稱性，這兩個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和剛好為3.

則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上沒有交點(diǎn).

所以結(jié)合函數(shù)的函數(shù)圖象可知：.
求解不等式組可得實(shí)數(shù)的取值范圍為：.

當(dāng)時(shí)，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上沒有交點(diǎn)，不滿足條件.

當(dāng)時(shí)，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上要么沒有交點(diǎn)，要么交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于或大于3，皆不滿足條件.

故答案為：.