Question

已知點P（x₀，y₀）在直線x+y-2=0上，若圓O：x²+y²=1（O為坐標原點）上存在點Q使得∠OPQ=30°，則x₀的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：直線與圓的位置關系

專題：直線與圓

分析：根據(jù)圓的切線的性質(zhì)，可知當過P點作圓的切線，切線與OP所成角是圓上的點與OP所成角的最大值，所以只需此角大于等于30°即可，此時半徑，切線與OP構成直角三角形，因為切線與OP所成角大于等于30°所以OP小于等于半徑的2倍，再用含x₀的式子表示OP，即可求出x₀的取值范圍．

解答： 解：過P作⊙C切線交⊙C于R，
根據(jù)圓的切線性質(zhì)，有∠OPR≥∠OPQ=30°．
反過來，如果∠OPR≥30°，
則⊙C上存在一點點Q使得∠OPQ=30°．
∴若圓C上存在點Q，使∠OPQ=30°，
則∠OPR≥30°．
∵|OR|=1，
∴|OP|＞2時不成立，
∴|OP|≤2．
又∵|OP|²=x₀²+y₀2=x₀²+（x₀-2）²=2x₀²-4x₀+2
∴2x₀²-4x₀+2≤2，
解得，0≤x₀²≤2．
∴x₀的取值范圍是[0，2]
故答案為：[0，2]．

點評：本題主要考查了直線與圓相切時切線的性質(zhì)，以及一元二次不等式的解法，綜合考察了學生的轉化能力，計算能力，屬于中檔題．