Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2a_n-2，b_n=3lnn+2，函數(shù)f（x）=lnx-x+1．
（1）求a₁的值和數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）證明：當x≥1時，f（x）≤0；
（3）求證：

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜5．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）n=1時，S₁=2a₁-2，可得a₁=2；根據(jù)S_n-S_n-1=a_n，利用題設中的等式，化簡整理求得a_n=2a_n-1判斷出數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，進而根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得a_n．
（2）證明函數(shù)f（x）=lnx-x+1，當x≥1時單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論；
（3）利用放縮法，結(jié)合錯位相減法，即可證明．

解答： （1）解：n=1時，S₁=2a₁-2，∴a₁=2，
∵S_n=2a_n-2，
∴n≥2時，S_n-S_n-1=（2a_n-2）-（2a_n-1-2）=a_n，
即2a_n-2a_n-1=a_n，即a_n=2a_n-1，
故數(shù)列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴a_n=2×2^n-1=2ⁿ，當n=1時，也成立．
∴a_n=2^n-1．
（2）證明：當x≥1時，f′（x）=

1-x

x

＜0，
∴函數(shù)f（x）=lnx-x+1，當x≥1時單調(diào)遞減，
∴f（x）=lnx-x+1≤f（1）=0；
（3）證明：由（2）知，b_n=3lnn+2=3（lnn-n+1）+3n-1≤3n-1，
∴

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

≤

2

2

+

5

22

+…+

3n-1

2n

．
令T_n=

2

2

+

5

22

+…+

3n-1

2n

①，則2T_n=2+

5

2

+…+

3n-1

2n-1

②
②-①整理可得T_n=5-

3n+5

2n

＜5
∴

b1

a1

+

b2

a2

+

b3

a3

+…+

bn

an

＜5．

點評：本題主要考查了求數(shù)列的通項公式，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明．解題的關(guān)鍵是利用了S_n-S_n-1=a_n，與放縮法、錯位相減法的運用．