Question

已知向量

m

=（cos（x-

π

6

），0），

n

=（2，0），x∈R，函數(shù)f（x）=

m

•

n

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（π）的值；
（3）若f（α+

2π

3

）=

6

5

，α∈（-

π

2

，0），求f（2α）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得函數(shù)f（x）=

m

•

n

的解析式．
（2）由f（x）的解析式求得f（π）的值．
（3）由f（α+

2π

3

）=

6

5

，求得sinα=-

3

5

，再根據(jù)α∈（-

π

2

，0），求得cosα、sin2α、cos2α 的值，再根據(jù) f（2α）=2cos（2α-

π

6

），利用兩角差的余弦公式計(jì)算求得解果．

解答： 解：（1）∵向量

m

=（cos（x-

π

6

），0），

n

=（2，0），∴函數(shù)f（x）=

m

•

n

=2cos（x-

π

6

）．
（2）f（π）=2cos（π-

π

6

）=-2cos

π

6

=-

3

．
（3）∵f（α+

2π

3

）=2cos（α+

2π

3

-

π

6

）=-2sinα=

6

5

，∴sinα=-

3

5

，
再根據(jù)α∈（-

π

2

，0），∴cosα=

4

5

，∴sin2α=2sinαcosα=-

24

25

，cos2α=2cos²α-1=

7

25

．
∴f（2α）=2cos（2α-

π

6

）=2cos2αcos

π

6

+2sin2αsin

π

6

=2×

7

25

×

3

2

+2×（-

24

25

）×

1

2

=

7 3 -24

25

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積公式，兩角和差的三角公式、二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．