Question

在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-1，0），且點P（

6

2

，

1

2

）在橢圓C上．
（Ⅰ） 求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過定點A（-

2

，0）的直線l₁交y軸于點Q，交曲線C于點R，過坐標原點O作直線l₂，使得l₂∥l₁，且l₂交曲線C于點S，證明：|AQ|，

2

|OS|，|AR|三個數(shù)值成等比數(shù)列．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓C₁的左焦點為F₁（-1，0），可得c，點P(

6

2

，

1

2

)代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，可求b，從而可求a，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求出Q的坐標，直線OS：y=kx，代入

x2

2

+y2=1，求出|OS|=

1+k2

|xs-0|，將y=k(x+

2

)代入

x2

2

+y2=1，求出|AQ|、|AR|，即可得出結論．

解答： （Ⅰ）解：因為橢圓C₁的左焦點為F₁（-1，0），所以c=1，…（1分）
點P(

6

2

，

1

2

)代入橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1，得4b⁴-3b²-1=0，即b=1，…（4分）
所以a²=b²+c²=2，
所以橢圓C₁的方程為

x2

2

+y2=1． …（5分）
（II）證明：由題意可知直線l₁和l₂的斜率都存在且相同，
設直線l₁：y=k(x+

2

)，則Q(0，

2

k)，…（6分）
又直線OS：y=kx，代入

x2

2

+y2=1，化簡得：（1+2k²）x²=2
所以：|OS|=

1+k2

|xs-0|，從而：2|OS|2=2(

1+k2

|xs-0|)2=

4+4k2

1+2k2

…（8分）
將y=k(x+

2

)代入

x2

2

+y2=1，化簡得：(1+2k2)x2+4

2

k2x+4k2-2=0
所以：|AR|=

1+k2

|xA-xR|=

2 2+2k2

1+2k2

…（10分）
又有：|AQ|=

2+2k2

…（11分）
所以|AQ|•|AR|=

4+4k2

1+2k2

=2|OS|2
所以|AQ|，

2

|OS|，|AR|三個數(shù)值成等比數(shù)列．        …（13分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系．考查等比數(shù)列，正確求出|AQ|，

2

|OS|，|AR|是關鍵．