Question

已知函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＜0時，g（x）=-ln（1-x），函數(shù)f（x）=

x3，(x≤0) g(x)，(x＞0)

，若f（2-x²）＞f（x），則實數(shù)x的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：本題可先由函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，求出函數(shù)g（x）的解析式，再利用f（x）與g（x）的關系得到f（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性解不等式f（2-x²）＞f（x），求出實數(shù)x的取值范圍．

解答： 解：∵函數(shù)g（x）是R上的奇函數(shù)，且當x＜0時，g（x）=-ln（1-x），
∴當x＞0時，g（x）=-g（-x）=-[-ln（1+x）]=ln（1+x）．
∵函數(shù)f（x）=

x3，(x≤0) g(x)，(x＞0)

，
∴當x≤0時，f（x）=x³為單調(diào)遞增函數(shù)，值域（-∞，0]．
當x＞0時，f（x）=ln（1+x）為單調(diào)遞增函數(shù)，值域（0，+∞）．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
∵f（2-x²）＞f（x），
∴2-x²＞x，
即x²+x-2＜0，
（x+2）（x-1）＜0，
-2＜x＜1．
∴x∈（-2，1）．
故答案為：（-2，1）．

點評：本題考查了奇函數(shù)的解析式求法、分段函數(shù)的單調(diào)性研究、函數(shù)單調(diào)性的應用，本題思維難度不大，但計算量較大，屬于中檔題．