Question

已知函數(shù)f(x)=sin(x+

π

2

)cosx-sinxcos(π-x)．
（1）試判斷直線x=

π

8

是否是函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸，并說明理由；
（2）在△ABC中，若f(A)=1，A∈(0，

π

2

)，BC=2，B=

π

3

，求邊AC的長．

Answer 1

分析：（1）把f（x）利用誘導(dǎo)公式，二倍角的正弦、余弦公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡得到一個(gè)角的正弦函數(shù)，代入x=

π

8

函數(shù)是否取得最值，即可判斷函數(shù)是否關(guān)于x=

π

8

對(duì)稱；
（2）根據(jù)f（A）=1利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡得到sinA=cosA即A=

π

4

，然后根據(jù)正弦定理即可求出AC的值．

解答：解：（1）由 f(x)=sin(

π

2

+x)cosx-sinxcos(π-x)得到：
f（x）=cos²x+sinxcosx=

1+ cos2x

2

+

sin2x

2

=

2

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）+

1

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

1

2

，
∴x=

π

8

時(shí)函數(shù)f（x）取得最大值，所以直線x=

π

8

是函數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸；
（2）∵f（A）=cos²A+sinAcosA=1
移項(xiàng)得：sinAcosA=1-cos²A=sin²A，因?yàn)锳為銳角，所以sinA≠0
∴sinA=cosA，則 A=

π

4

根據(jù)正弦定理得：

BC

sinA

=

AC

sinB

即

AC

sin π 3

=

2

sin π 4

，
所以AC=

2× 3 2

2 2

=

6

．

點(diǎn)評(píng)：考查學(xué)生靈活運(yùn)用誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，會(huì)利用正弦定理解決實(shí)際問題．