Question

定義：我們把橢圓的焦距與長軸的長度之比即e=

c

a

，叫做橢圓的離心率．若兩個(gè)橢圓的離心率e相同，稱這兩個(gè)橢圓相似．
（1）判斷橢圓C₁：

x2

100

+

y2

25

=1與橢圓C₂：

x2

4

+y²=1是否相似？并說明理由；
（2）若橢圓Γ₁：

x2

a2

+

y2

4

=1（a＞2）與橢圓Γ₂：

x2

8

+

y2

16

=1相似，求a的值；
（3）設(shè)動(dòng)直線l：y=kx+6與（2）中的橢圓Γ₁交于M、N兩點(diǎn)，試探究：在橢圓Γ₁上是否存在異于M、N的定點(diǎn)Q，使得直線QM、QN的斜率之積為定值？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）分別求出橢圓C₁和橢圓C₂的離心率，由此能求出橢圓C₁與橢圓C₂相似．
（2）由題意知

a2-4

a

=

16-8

4

，由此能求出a的值．
（3）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、Q（x₀，y₀）、常數(shù)λ，y=kx+6代入

x2

8

+

y2

4

=1，得（1+2k²）x²+24kx+64=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答： 解：（1）橢圓C₁：

x2

100

+

y2

25

=1的離心率e1=

100-25

100

=

3

2

，
橢圓C₂：

x2

4

+y²=1的離心率e2=

4-1

4

=

3

2

，
∵e1=e2=

3

2

，∴橢圓C₁：

x2

100

+

y2

25

=1與橢圓C₂：

x2

4

+y²=1相似．…（4分）
（2）∵橢圓Γ₁：

x2

a2

+

y2

4

=1（a＞2）與橢圓Γ₂：

x2

8

+

y2

16

=1相似，
∴

a2-4

a

=

16-8

4

，
解得a=2

2

．…（8分）
（3）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）、Q（x₀，y₀）、常數(shù)λ，
y=kx+6代入

x2

8

+

y2

4

=1，得（1+2k²）x²+24kx+64=0，…（10分）
則△＞0，

x1+x2=- 24k 1+2k2 x1•x2= 64 1+2k2

，
代入

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=λ，
整理得2(λ

x

2 0

-

y

2 0

+4)k2+24λx0k+(λ

x

2 0

-

y

2 0

+12y0+64λ-36)=0，…（12分）
由λ

x

2 0

-

y

2 0

+4=λx0=λ

x

2 0

-

y

2 0

+12y0+64λ-36=0，…（14分）
得λ=1，Q（0，-2）或λ=

1

4

，Q（0，2）．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓相似的判斷，考查實(shí)數(shù)值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．