Question

觀察不等式：1+

1

2

+

1

3

＜2，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

7

＜3，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

15

＜4，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

31

＜5，…，由此歸納第n個(gè)不等式為

 

．要用數(shù)學(xué)歸納法證明該不等式，由n=k（k≥1）時(shí)不等式成立，推證n=k+1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法,歸納推理

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：第一空：根據(jù)所給的五個(gè)式子，看出不等式的左邊是一系列數(shù)字的倒數(shù)的和，觀察最后一項(xiàng)的特點(diǎn)，和右邊數(shù)字的特點(diǎn)，得到第n格不等式的形式．
觀察不等式左側(cè)的特點(diǎn)，分母數(shù)字逐漸增加1，末項(xiàng)為

1

2n+1-1

，然后判斷n=k+1時(shí)增加的項(xiàng)數(shù)即可．

解答： 解：第一空：∵不等式的右側(cè)：2=1+1，3=2+1，4=3+1，…
左側(cè)：每一項(xiàng)分別有：2²-1，3²-1，4²-1，…項(xiàng)，每一項(xiàng)中最后一項(xiàng)的分母為：

1

2n+1-1

．
∴由此歸納第n個(gè)不等式為：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1-1

＜n+1(n∈N*)，
第二空：左邊的特點(diǎn)：分母逐漸增加1，末項(xiàng)為

1

2n+1-1

；
由n=k，末項(xiàng)為

1

2k+1-1

，到n=k+1，末項(xiàng)為

1

2k+1-1+2k+1

，∴應(yīng)增加的項(xiàng)數(shù)為2^k+1．
故答案為：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n+1-1

＜n+1(n∈N*)；2^k+1（注：每空2分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，是由某類(lèi)事物的部分對(duì)象所具有的某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，它的特點(diǎn)是有個(gè)別到一般的推理，本題是一個(gè)不完全歸納．考查數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的第二步，項(xiàng)數(shù)增加多少問(wèn)題，注意表達(dá)式的形式特點(diǎn)，找出規(guī)律是關(guān)鍵．