Question

已知a+b+c=1，
（1）求S=2a²+3b²+c²的最小值及取最小值時(shí)a，b，c的值．
（2）若2a²+3b²+c²=1，求c的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：柯西不等式

專(zhuān)題：選作題,不等式

分析：對(duì)于“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”，通常構(gòu)造利用柯西不等式求解即可．（1）根據(jù)柯西不等式，（2a²+3b²+c²）（

1

2

+

1

3

+1）≥（a+b+c）²；（2）根據(jù)柯西不等式得：（a+b）²≤（2a²+3b²）（

1

2

+

1

3

），即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）根據(jù)柯西不等式，（2a²+3b²+c²）（

1

2

+

1

3

+1）≥（a+b+c）²
∵a+b+c=1，∴S≥

6

11

，等號(hào)成立的條件是a=

3

11

，b=

2

11

，c=

6

11

．
∴當(dāng)a=

3

11

，b=

2

11

，c=

6

11

時(shí)，S=2a²+3b²+c²的最小值為

6

11

．
（2）根據(jù)條件可得：a+b=1-c，2a²+3b²=1-c²，
根據(jù)柯西不等式得：（a+b）²≤（2a²+3b²）（

1

2

+

1

3

），
∴（1-c）²≤

5

6

（1-c²），解之得

1

11

≤c≤1．

點(diǎn)評(píng)：柯西不等式的特點(diǎn)：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當(dāng)欲證不等式的一邊視為“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”，再結(jié)合不等式另一邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去嘗試構(gòu)造．