Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

2

，2a_n+1=a_n+1•a_n+1．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄的值，由此猜測{a_n}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）證明：a₁•a₃•a₅…a_2n-1＜

1-an 1+an

＜

2

sin

1

2n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）令n=1，2，3，可求a₂，a₃，a₄的值，猜想an=

n

n+1

，用數(shù)學(xué)歸納法即可證明．
（Ⅱ）

1-an 1+an

=

1- n n+1 1+ n n+1

=

1 2n+1

，可證

2n-1

2n

＜

2n-1

2n+1

，從而有a1•a3•a5…a2n-1=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1 3 × 3 5 ×…× 2n-1 2n+1

=

1 2n+1

；令函數(shù)f(x)=x-

2

sinx，利用導(dǎo)數(shù)可得x＜

2

sinx在(0，

π

4

)恒成立，可知0＜

1 2n+1

≤

1 3

＜

π

4

，則有

1 2n+1

＜

2

sin

1 2n+1

．

解答： 解：（Ⅰ）令n=1，2，3可知a2=

2

3

，a3=

3

4

，a4=

4

5

，
猜想an=

n

n+1

，下用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）n=1時(shí)，顯然成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)，命題成立．即ak=

k

k+1

．
當(dāng)n=k+1時(shí)，由題可知ak+1=

1

2-ak

=

1

2- k k+1

=

k+1

k+2

．
故n=k+1時(shí)，命題也成立．
由（1）（2）可知，an=

n

n+1

．
（Ⅱ）證明：∵

1-an 1+an

=

1- n n+1 1+ n n+1

=

1 2n+1

，
∵

2n-1

2n

＜

2n-1

4n2-1

=

2n-1

2n-1 • 2n+1

=

2n-1

2n+1

，
a1•a3•a5…a2n-1=

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1 3 × 3 5 ×…× 2n-1 2n+1

=

1 2n+1

，
∴a1•a3•a5…a2n-1＜

1-an 1+an

，
由于

1-an 1+an

=

1 2n+1

，可令函數(shù)f(x)=x-

2

sinx，則f′(x)=1-

2

cosx，
令f'（x）=0，得cosx=

2

2

，給定區(qū)間(0，

π

4

)，則有f'（x）＜0，則函數(shù)f（x）在(0，

π

4

)上單調(diào)遞減，
∴f（x）＜f（0）=0，即x＜

2

sinx在(0，

π

4

)恒成立，
又0＜

1 2n+1

≤

1 3

＜

π

4

，則有

1 2n+1

＜

2

sin

1 2n+1

，即

1-an 1+an

＜

2

sin

1

2n+1

．

點(diǎn)評(píng)：該題考查由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、證明不等式，數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)列部分常用方法．