Question

如圖，AB是底面半徑為1的圓柱的一條母線，O為下底面中心，BC是下底面的一條切線．
（1）求證：OB⊥AC；
（2）若AC與圓柱下底面所成的角為30°，OA=2．求三棱錐A-BOC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)OB，根據(jù)切線性質(zhì)有OB⊥BC，根據(jù)圓柱的幾何特征，可得AB⊥OB，進(jìn)而由線面垂直的判定定理可得OB⊥平面ABC，進(jìn)而OB⊥AC；
（2）在Rt△OAB中，OA=2，OB=1，可得AB=

3

，結(jié)合AC與圓柱下底面所成的角即∠ACB=30°，可求出BC，AC，代入棱錐體積公式，可得三棱錐A-BOC的體積．

解答： 解：（1）連結(jié)OB，
∵BC是下底面的一條切線，
圓的切線性質(zhì)有OB⊥BC，
又∵AB是圓柱的一條母線，
∴AB⊥底面⊙O，
又OB?底面⊙O，
∴AB⊥OB，
又∵AB∩BC=B，AB，BC?平面ABC，
∴OB⊥平面ABC，
又∵AC?平面ABC，
∴OB⊥AC．
（2）在Rt△OAB中，OA=2，OB=1，
∴AB=

3

．
又∵AB⊥底面⊙O，
∴∠ACB就是AC與底面⊙O所成角，
∵∠ACB=30°，
∴BC=3，AC=2

3

，
∴VA-BOC=

1

3

AB×S△BOC=

1

6

AB×OB×BC=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的判定與性質(zhì)，圓柱的幾何特征，棱錐的體積公式，是空間線面關(guān)系的綜合應(yīng)用，難度中檔．