已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1、F2，上頂點(diǎn)M（0，b），△MF1F2為正三角形且周長(zhǎng)為6，直線l：x=my+4與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求
OA
•
OB
的取值范圍．
（Ⅰ）∵上頂點(diǎn)M（0，b），△MF1F2為正三角形且周長(zhǎng)為6，
∴a=2，c=1，b=
3
，
∴橢圓的方程為
x2
4
+
y2
3
=1；
（Ⅱ）直線l：x=my+4代入橢圓方程，得（3m2+4）y2+24my+36=0，
由△=（24m）2-4×36×（3m2+4）＞0
可得m2＞4．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
則y1+y2=-
24m
3m2+4
，y1y2=
36
3m2+4

∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=（m2+1）y1y2+4m（y1+y2）+16=-4+
116
3m2+4
，
∵m2＞4，
∴3m2+4＞16，
∴
OA
•
OB
∈（-4，
13
4
）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓焦距為2，離心率為
1
2

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)（1，2）且傾斜角為45°且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐標(biāo)原點(diǎn)，C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，且△AOB的面積為
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)P（4，0）作與x軸不重合的直線l與C交于相異兩點(diǎn)M、N，交y軸于Q點(diǎn)，證明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
為定值，并求這個(gè)定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知F1，F(xiàn)2是橢圓
x2
16
+
y2
9
=1的兩焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F2的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在△AF1B中，若有兩邊之和是10，則第三邊的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)如下五個(gè)點(diǎn)中的三個(gè)點(diǎn)：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A為橢圓M的左頂點(diǎn)，B，C為橢圓M上不同于點(diǎn)A的兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在△ABC的外部，且△ABC為直角三角形，求△ABC面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線的方程為5x2-4y2=20兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2．
（1）求此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和漸近線方程；
（2）若橢圓與此雙曲線有共同的焦點(diǎn)，且有一公共點(diǎn)P滿足|PF1|•|PF2|=6，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，直線l：y=x+b與拋物線x2=4y相切于點(diǎn)A．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且平行于直線l的直線l1交拋物線于B，C兩點(diǎn)，求△ABC的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的頂點(diǎn)為A1，A2，B1，B2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|A1B2|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線m過(guò)Q（1，1），且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)Q是MN的中點(diǎn)時(shí)，求直線m的方程．
（Ⅲ）設(shè)n為過(guò)原點(diǎn)的直線，l是與n垂直相交于P點(diǎn)且與橢圓相交于兩點(diǎn)A，B的直線，|
OP
|=1，是否存在上述直線l使以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

曲線y=x2上的點(diǎn)到直線2x+y+4=0的最短距離是（　�。�
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5

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