【題目】甲、乙兩位小學(xué)生各有2008年奧運吉祥物“福娃”5個(其中“貝貝”、“晶晶”、“歡歡”、“迎迎”和“妮妮各一個”),現(xiàn)以投擲一個骰子的方式進(jìn)行游戲,規(guī)則如下:當(dāng)出現(xiàn)向上的點數(shù)是奇數(shù)時,甲贏得乙一個福娃;否則乙贏得甲一個福娃,規(guī)定擲骰子的次數(shù)達(dá)9次時,或在此前某人已贏得所有福娃時游戲終止.記游戲終止時投擲骰子的次數(shù)為ξ
(1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率;
(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.

【答案】
(1)解:當(dāng)ξ=7時,若甲贏意味著“第七次甲贏,前6次贏5次,

但根據(jù)規(guī)則,前5次中必輸1次”,由規(guī)則,每次甲贏或乙贏的概率均為 ,

因此P(ξ=7)=


(2)解:設(shè)游戲終止時骰子向上的點數(shù)是奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m,

向上的點數(shù)是偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n,

則由 ,可得:

當(dāng)m=5,n=0或m=0,n=5時,ξ=5;

當(dāng)m=6n=1或m=1,n=6時,ξ=7

當(dāng)m=7,n=2或m=2,n=7時,ξ=9.

因此ξ的可能取值是5、7、9

每次投擲甲贏得乙一個福娃與乙贏得甲一個福娃的可能性相同,其概率都是

所以ξ的分布列是:


【解析】對于(1)求擲骰子的次數(shù)為7的概率.首先可以分析得到甲贏或乙贏的概率均為 ,若第7次甲贏意味著“第七次甲贏,前6次贏5次,但根據(jù)規(guī)則,前5次中必輸1次”.若乙贏同樣.故可根據(jù)二項分布列出式子求解即可.
對于(2)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ.故可以設(shè)奇數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為m,偶數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)為n.然后根據(jù)題意列出關(guān)系式,求出可能的m n的值又ξ=m+n,求出ξ的可能取值,然后分別求出概率即可得到ξ的分布列,再根據(jù)期望公式求得Eξ即可.
【考點精析】關(guān)于本題考查的離散型隨機變量及其分布列,需要了解在射擊、產(chǎn)品檢驗等例子中,對于隨機變量X可能取的值,我們可以按一定次序一一列出,這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.離散型隨機變量的分布列:一般的,設(shè)離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn,X取每一個值 xi(i=1,2,......)的概率P(ξ=xi)=Pi,則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布,簡稱分布列才能得出正確答案.

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