【題目】中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《數(shù)書(shū)九章》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱(chēng)為“陽(yáng)馬”，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為“鱉臑”.在如圖所示的陽(yáng)馬中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中點(diǎn)O為球心，AC為直徑的球面交PD于M（異于點(diǎn)D），交PC于N（異于點(diǎn)C）.

（1）證明：平面，并判斷四面體MCDA是否是鱉臑，若是，寫(xiě)出它每個(gè)面的直角（只需寫(xiě)出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析，是，，，，；（2）

【解析】

（1）根據(jù)是球的直徑，則，又平面， 得到，再由線面垂直的判定定理得到平面，，進(jìn)而得到，再利用線面垂直的判定定理得到平面.

（2）以A為原點(diǎn)，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，解得，得到，從而得到，然后求得平面的一個(gè)法向量，代入公式求解.

（1）因?yàn)?/span>是球的直徑，則，

又平面，

∴，.∴平面，

∴，∴平面.

根據(jù)證明可知，四面體是鱉臑.

它的每個(gè)面的直角分別是，，，.

（2）如圖，

以A為原點(diǎn)，，，所在直線為x，y，z軸建立直角坐標(biāo)系，

則，，，，.

M為中點(diǎn)，從而.

所以，設(shè)，

則.

由，

得.

由得，即.

所以.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為.

由.

取，，，得到.

記與平面所成角為θ，

則.

所以直線與平面所成的角的正弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在直線上，且.

（1）求點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知點(diǎn)在直線上，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記點(diǎn)到直線的距離分別為，求的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的方程為，定點(diǎn)，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)， 為的中點(diǎn).

（1）求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知直線與軸的交點(diǎn)為，與曲線的交點(diǎn)為，若的中點(diǎn)為，求的長(zhǎng).

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，已知，，，.是線段的中點(diǎn).

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）求二面角的大小的余弦值.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

A. 命題：“若，則”的逆否命題是“若，則”

B. “”是“”的充分不必要條件

C. 命題：“， ”的否定是“， ”

D. 若“”為假命題，則均為假命題

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.

（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門(mén)的員工中分別抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.

（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知長(zhǎng)度為的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)，且斜率不為零的直線與曲線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線與的斜率之積為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)以及此常數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門(mén)課程中選三門(mén)作為選考科目，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

A.若任意選擇三門(mén)課程，選法總數(shù)為

B.若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，選法總數(shù)為

C.若物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為

D.若物理和化學(xué)至少選一門(mén)，且物理和歷史不能同時(shí)選，選法總數(shù)為

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為OA的中點(diǎn)，若以AM為直徑的圓與E的漸近線相切，則雙曲線E的離心率等于（ ）

A.B.

C.D.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案